Примеры решений дифференциальных уравнений

  • Диффуров.НЕТ
  • Уравнения первого порядка
  • Уравнения второго порядка
  • Вспомогательные операции
  • Теоретическая справка

Примеры решений дифференциальных уравнений

Решаем дифференциальное уравнение:
Произведем нормировку уравнения. Разделим все уравнение на коэффициент при y'. Получим:
Вычисляем вспомогательную фунцию:
Вычисляем:
Согласно теории по данному типу диффуров, записываем выражение:
Интегрируем левую и правую часть. Получим:
Выразим искомую функцию y(x):
Записываем финальный ответ:

Выполним проверку. Подставим полученную функцию y(x) в исходный диффур.
Упрощаем:
Значение правой части диффура:
Выражения должны быть математически идентичны (с точностью до формы записи).


Решаем дифференциальное уравнение:
Произведем нормировку уравнения. Разделим все уравнение на коэффициент при y'. Получим:
Разделим все уравнение на y2. Получили:
Делаем замену переменных.
Тогда уравнение можно записать как:
Получили линейное неоднородное уравнение первого порядка. Решим его.

Решаем дифференциальное уравнение:
Вычисляем вспомогательную фунцию:
Вычисляем:
Согласно теории по данному типу диффуров, записываем выражение:
Интегрируем левую и правую часть. Получим:
Выразим искомую функцию w(x):
Записываем решение уравнения:
Зная w(x) найдем y(x):
Записываем финальный ответ:

Выполним проверку. Подставим полученную функцию y(x) в исходный диффур.
Упрощаем:
Выражение, записанное выше, это то, что получится при подстановке y(x) в левую часть диффура.
А теперь посмотрим что получится при подстановки y(x) в правую часть диффура:
Упрощаем:
Выражения должны быть математически идентичны (с точностью до формы записи).


Решаем дифферениальное уравнение:



Упростим выражение, собрав коэффициенты при dx и dy:



Обозначим через P(x,y) коэффициент при dx



Обозначим через Q(x,y) коэффициент при dy



Проверяем равенство:









Равенство (2) выполняеться, значит уравнение (1) - это уравнение в полных дифференциалах

Ответ ищем в виде функции :







Предварительный ответ уже получили, надо найти функцию

Вспоминаем, что:



где





Запишем равенство (3) в явном виде



Выразим функцию







Финальный ответ






Решаем однородное дифференциальное уравнение:
Решение ищем в виде:
Подставляем в исходное уравнение:
Дифференцируем экспоненту, а затем сокращаем на exp(x·z). Получим характерестическое уравнение:
Решаем характерестическое уравнение. Получим два корня:
Корни представляют собой два одинаковых действительных числа. Тогда фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения представляет собой две функции:
где С1 и С2 произвольные константы.
Общее решение однородного дифференциального уравнения представляет собой сумму фундаментальных решений:


Раскладываем и группируем (если это возможно) слагаемые в правой части таким образом, чтобы удобнее было решать:

Решаем дифференциальное уравнение:

Частное решение данного уравнения:


показать решение


Решаем дифференциальное уравнение:

Частное решение данного уравнения:


показать решение


Записываем финальный ответ:


Решаем дифференциальное уравнение:
Уравнение однородное, порядок уравнения 2.
Сделаем ряд преобразований:
Приведем уравнение к виду:
Вводим новую функцию z(x):
Тогда:
В уравнении (1) делаем замену:
и
Получим:
Интегрируем:
Получим:
Делаем обратную замену:

www.megastock.ru